最近在逛 3Blue1Brown 的 Youtube 频道的时候发现旁边有个推荐视频里讲的一道数学题蛮好玩的，虽然不是很难，但我觉得还是摘录在这里比较好。
题目
考虑一个飞镖选手 Bob，他水平跟 Alice 一样菜，每次投飞镖的命中位置都在一个 $a = 2$ 的正方形里均匀分布。有一天，他去参加一个神奇的飞镖比赛，这个比赛的规则与众不同：
- 游戏开始时飞镖盘为一个 $r = 1$ 的圆（即 Bob 随机扔飞镖投出的正方形是它的外切正方形）
- 选手投飞镖，如果命中了飞镖盘，则飞镖盘的直径改为命中点所在的最短的弦的长度（如下图）
- 如果没有命中飞镖盘，则游戏结束，得分为选手投飞镖的次数
试求 Bob 的期望得分
解
求概率
首先要做的就是求各种情况发生的概率。那么我们先分析整个投飞镖的过程。我们假设飞镖盘中心坐标为$(0,0)$， Bob 第 $i$ 次投中的飞镖坐标为$(x_i, y_i)$，第 $i$ 次飞镖盘的半径为 $r_i$。
那么 Bob 第 $1$ 次命中飞镖盘意味着
$$
x_1^2+y_1^2 \le r_1^2 \\
x_1^2+y_1^2+r_2^2 = r_1^2 \tag{1}
$$
Bob 第 $2$ 次命中飞镖意味着
$$
x_2^2+y_2^2 \le r_2^2 \\
x_2^2+y_2^2+r_3^2 = r_2^2 \tag{2}
$$
将 $(1)$ 代入 $(2)$ 得
$$
x_1^2 + y_1^2 + x_2^2 + y_2^2 \le r_1^2
$$
以上步骤多次重复可以发现，第 $n$ 次依旧命中飞镖盘等价于
$$
\sum_{i=1}^n{(x_i^2+y_i^2)} \le r_1^2
$$
所以得分至少为 $n$ 的概率 $P(S \ge n)$ 为 $2n$ 个分布在 $[-1, 1]$ 之间的随机变量的平方和不大于 $1$ 的概率。稍微联想一下，可得
$$
P(S \ge n) = \frac{V_{2n 维空间下半径为 1 的球}}{V_{2n 维空间下边长为 2 的立方体}} = \frac{\pi^n/{n!}}{2^{2n}} = \frac{(\pi/4)^n}{n!}
$$
求期望
注意到，得分至少为 $n$ 的概率对期望的贡献为 $1$，所以求期望的式子长这样：（或者你可以用 $P(S = n) = P(S \ge n) - P(S \ge (n-1))$，然后代入期望的定义得出）
$$
\begin{eqnarray}
E(S) &=& 1 + \sum_{i=1}^{\infty}{P(S \ge i)} \\
&=& \sum_{i=0}^{\infty}{\frac{(\pi/4)^i}{i!}}
\end{eqnarray}
$$
然后你发现，诶这不是 $e^x$ 的泰勒级数嘛，所以答案就出来了：
$$
E(S) = e^{\frac{\pi}{4}} \approx 2.19
$$
emmm…这分数惨不忍睹
感想
能从偶数维球体体积联想到 $e^x$ 的泰勒级数，出题人水平好高啊
附录: $d$ 维球体的表面积和体积
$$
V_n(r) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}r^n \\
S_n(r) = \frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2})}r^{n-1}
$$
我数学太差了，不会证明。证明详见这里。